ecuaciones con numeros racionales

 ecuaciones  con numeros racionales 

Un método para resolver ecuaciones racionales es reescribir las expresiones racionales en términos de un denominador común. Entonces, como sabemos que los numeradores son iguales, podemos resolver la variable. Para ilustrar esto, veamos una ecuación muy simple:

x = 3

Como el denominador de cada expresión es el mismo, los numeradores deben ser equivalentes también. Esto significa que x = 3.

Esto es también válido para ecuaciones racionales con polinomios:

2x – 5 = 11

x = 8

Una vez más, como los denominadores son los mismos, sabemos que los numeradores deben ser también iguales. Por lo que podemos igualarlos el uno con el otro y resolver x.

Debemos comprobar nuestra solución en la expresión racional original:

La solución funciona, y como x = 8 no resulta en una división entre 0, la solución es válida.

Cuando los términos en una ecuación racional tienen denominadores distintos, resolver la ecuación necesitará trabajo extra. Aquí hay un ejemplo:

Ejemplo
Problema		Resolver la ecuación
				No hay valores excluidos porque ambos denominadores son constantes
				Encontrar el común denominador y reescribir cada expresión con ese denominador El común denominador es 8
		x + 2 = 6 x = 4		Como los denominadores son el mismo, los numeradores deben ser iguales para que la ecuación sea válida, Resolver x.
				Comprobar la solución sustituyendo x por 4 en la ecuación original
Solución		x = 4

Otra forma de resolver ecuaciones racionales consiste en multiplicar ambos lados de la ecuación por un común denominador. Esto elimina los denominadores y convierte la ecuación racional en una ecuación de polinomios. Aquí está el mismo ejemplo que acabamos de resolver:

Ejemplo
Problema		Resolver la ecuación
				No hay valores excluidos porque ambos denominadores son constantes
				Multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador
		x + 2 = 6		Simplificar
		x + 2 – 2  = 6 – 2 x = 4		Resolver x
Solución		x = 4

Ahora que entendemos las técnicas, veamos un ejemplo que tiene variables en el denominador. Recuerda que cuando hay variables en el denominador, necesitamos encontrar los valores que están excluidos del dominio porque harían el denominador cero.

Para resolver la ecuación, podemos multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador:

Ejemplo
Problema	Resolver
	x + 2 = 0 x = -2 x – 2 = 0 x = 2 (x + 2)(x – 2) = 0 x = -2, 2		Primero determinar los valores excluidos. Estos son los valores de x que harían 0 el denominador
	denominadores: x + 2 x – 2 x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) mínimo común denominador: (x – 2)(x + 2)		Encontrar el común denominador de x – 2, x + 2, y x2 – 4 Como (x – 2) y (x + 2) son factores de x2 – 4, el mínimo común denominador es (x – 2)(x + 2) o x2 – 4
			Multiplicar ambos lados de la ecuación por el común denominador
	7x – 14 + 5x + 10 =10x – 2 12x – 4 =10x – 2		Simplificar
	12x – 10x – 4 = 10x – 10x – 2 2x – 4 = -2 2x – 4 + 4 = -2 + 4 2x = 2 x = 1		Resolver x Asegurarse que la solución no es un valor excluido. (No lo es)
			Comprobar la solución en la ecuación original
Solución	x = 1

Resolver la ecuación , m  0 o 2 A)  m = 2 B) no existe solución C) m = 8 Mostrar/Ocultar la Respuesta

Hemos visto que hay más de una forma de resolver ecuaciones racionales. Porque ambas técnicas manipulan y reescriben los términos, algunas veces pueden producir soluciones que no funcionan en la forma original de la ecuación. Este tipo de respuestas se llaman soluciones extrañas. Estas soluciones son artefactos del proceso de solución y no son respuestas reales. Es por eso que siempre debemos comprobar las soluciones con las ecuaciones originales — podríamos encontrar que se obtienen declaraciones inválidas o producen expresiones indefinidas.

Resolver la ecuación: A) x = -1 B) x = -1, 6 C) x = -4, 3 D) no existe solución Mostrar/Ocultar la Respuesta

Sumario

Resolvemos ecuaciones racionales encontrando un común denominador. Podemos entonces seguir cualquiera de dos métodos. Podemos reescribir la ecuación de tal manera que todos los términos tengan el común denominador y podemos resolver la variable con sólo los numeradores. O podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador común para que todos los términos se vuelvan polinomios en lugar de expresiones racionales.

Un paso importante cuando resolvemos ecuaciones racionales es rechazar cualquier solución extraña de la respuesta final. Las soluciones extrañas son soluciones que no satisfacen la forma original de la ecuación porque producen declaraciones inválidas o son valores excluidos que hacen que el denominador sea igual a 0.