División de potencias con el mismo exponente

La división de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ : b ⁿ = (a : b) ⁿ

6³ : 3³ = 2³

el cociente de potencia con el mismo exponente

La división de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

a^m : a ⁿ = a^{m - n}

2⁵ : 2² = 2^{5 − 2} = 2³

2⁻² · 2⁻³ · 2⁴ = 2⁻¹ = 1/2

2² : 2³ = 2⁻¹ = 1/2

2⁻² : 2³ = 2⁻⁵ = (1/2)⁵ = 1/32

2² : 2⁻³ = 2⁵ = 32

2⁻² : 2⁻³ = 2

el producto de potencia con el mismo exponente

el producto de potencia con el mismo exponente

La multiplicación de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

aⁿ · b ⁿ = (a · b) ⁿ

2³ · 4³ = 8³

la potencia de potencia 
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor.

el cociente de una misma base

el cociente de una misma base

El cociente de potencias de la misma base tiene la misma base y por exponente la resta de los exponente.

ejemplo:




ejercicios

OPERACIONES CON LA MISMA BASE

Si queremos multiplicar dos potencias de la misma base, por ejemplo, 43 * 45 hacemos el siguiente razonamiento: 43 = 4 * 4 * 4   y   45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4, luego 43 * 45 = (4 * 4 * 4) * (4 * 4 * 4 * 4 * 4) = 48 = 43+5

POTENCIA DE  BASE     UN NUMERO   ENTERO NEGATIVO

• Para calcular la potencia de un número negativo también se procede de la misma manera que antes, multiplicándolo por él mismo tantas veces como nos indique el exponente. Pero en este caso además, se debe tener en cuenta la jerarquía de los signos en el producto que nos dice que:
• El producto de dos positivos es positivo. 

• El producto de un positivo con un negativo es negativo. 

• El producto de dos negativos es positivo
• EJENPLO:

potencia de base entera y exponente natural

 que es una potencia

Una potencia de base y exponente consiste en multiplicar veces la base . Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo. En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes: La base es el número que se multiplica por sí mismo.

ejercicios:

multiplicación de números enteros

multiplicación de números enteros 

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

         + · + = +
         − · − = +
         + · − = −
         − · + = −

            Ejemplo: 

     

                    (−2) · (−5) = 10

                    2 · (−5) = −10

                    (−2) · 5 = −10

                         = 10

video 

https://www.youtube.com/watch?v=32DxIgqCFCQ2 · 5

juego:

https://anagarciaazcarate.wordpress.com/category/numeros/enteros/

Igualdad de ecuaciones e inecuaciones

pagblemas deecuaciones e inecuaciones

Problemas de ecuaciones y desigualdades


problemas de ecuaciones e inecuaciones
Las ecuaciones y las inecuaciones son expresiones matemáticas que representan problemas reales , por ejemplo : “ ¡Que carero es el tío del quiosco!, he salido de casa con 300 pelas , me he comprado dos paquetes de chicles y ya sólo me quedan diez duros “ No os costara mucho saber cuánto dinero le queda. (dos horas después) Efectiviwonder cada paquete le costó 125Ptas. Habéis resuelto una ecuación de primer grado. La ecuación que representa matemáticamente el problema anterior es: x + = 300502 Para resolverla de forma matemática hay que seguir una serie de pasos ( que son seguramente los mismos que habéis seguido para resolverla mentalmente) .Vamos a recordar dichos pasos un poco más adelante. Al valor obtenido ( 125) se le llama solución de la ecuación y es el único valor posible que concuerda con la ecuación de primer grado propuesta. Si la ecuación fuese de segundo grado la cosa cambia un poco pues hay una “fórmula” que nos da las soluciones, que en el caso de ecuaciones de 2º grado son dos. Es decir , en una ecuación de 2º grado los valores que concuerdan con lo que dice la ecuación son dos y sólo dos. En una ecuación de tercer grado hay tres soluciones , en una de cuarto grado hay cuatro soluciones, etc… El número de soluciones de una ecuación coincide con el grado de dicha ecuación 

igualdades ecuaciones einecuaciones

igualdades  ecuaciones e inecuaciones

igualdades 

una igualdad es una relación  entre dos expresiones matemáticas  que representan un mismo valor.  las igualdades tienen dos miembros separados porel mismo signo 

igual (=) 

5

).

5

).

    

ecuaciones

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; también variables o incluso objetos complejos como funciones o vectores, los elementos desconocidos pueden ser establecidos mediante otras ecuaciones de un sistema, o algún otro procedimiento de resolución de ecuaciones.^{nota 1} Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar (en ecuaciones complejas en lugar de valores numéricos podría tratarse de elementos de un cierto conjunto abstracto, como sucede en las ecuaciones diferenciales). Por ejemplo, en la ecuación algebraica simple:

las inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

<	menor que	2x - 1 <7
≤	menor o igual que	2x - 1 ≤ 7
>	mayor que	2x - 1> 7
≥	mayor o igual que	2x - 1 ≥ 7

La solución de una desigualdad es el conjunto de valores de la variable que verifica la desigualdad .   

Podemos expresar la solución de la desigualdad por:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

Ejemplos

En primer lugar  2x - 1 <7

2x <8 x <4

(-∞, 4)

2.  2x - 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]

3.  2x - 1> 7

2x > 8     x > 4

(4, ∞)

4.  2x -. 1. 7 ≥

2x ≥ 8     x ≥ 4

[4, ∞)

Propiedades de la sustracción de números enteros

Propiedades de la sustracción de números enteros

Resta de números enteros Podemos definir la resta con respecto a la suma diciendo que la resta es el resultado de sumar al minuendo el opuesto del sustrayendo. De esta forma a − b = a + (−b) Ejemplos: 3 − 2 = 3 + (−2) = 1 3 − (−2) = 3 + (+2) = 5 −3 − (−2) = −3 + (+2) = −1 Propiedades de la resta de enteros La resta de enteros, al igual que la resta de los n´umeros naturales, no cumple las propiedades conmutativa ni asociativa. Pero si posee otras nuevas: es operación interna, tiene elemento neutro y elemento opuesto o simétrico. Operación interna La resta de dos n´umeros enteros siempre produce como resultado otro n´umero entero. En el conjunto de los naturales esta regla no existía. Si el minuendo era menor que el sustrayendo se producıa un numero negativo que no pertenecen al conjunto de los naturales, N. Elemento neutro: a − 0 = a El elemento neutro de la resta de enteros es también el 0, como en la suma. Ejemplos: 2 − 0 = 2; −3 − 0 = −3; 0 − 0 = 0 Elemento simétrico: a − a = 0 El elemento opuesto o simétrico de un n´umero en la resta de enteros es el mismo. Es ase porque al restarle a un numero el mismo numero obtenemos el elemento neutro, el 0. Ejemplos: 2 − 2 = 0; −3 − (−3) = −3 + 3 = 0 1.Interna:

a − b  

10 − (−5)  

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5