cuerpop redondo

cuerpop redondo:


 Cuerpos redondos. Son la esfera, el cono y el cilindro. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva. También se denominan cuerpos de revolución porque pueden obtenerse a partir de una figura que gira alrededor de un eje.


























 

poliedros

  poliedros



Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico












































 

Ángulo diedro

Es la porción de espacio limitada por dos semiplanos que se llaman caras.

Ángulo poliedro

Es la porción de espacio limitada por tres o más planos que concurren en un punto llamado vértice.
Un ángulo poliedro debe medir menos de 360º.

Poliedro

Es la región del espacio limitada por polígonos.

Elementos de un poliedro:

1Cara: Cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.
2Aristas: Los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
3Vértices: Los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.
4Ángulos diedros: Los ángulos formados por cada dos caras que tienen una arista en común.
5Ángulos poliédricos: Los ángulos formados por tres o más caras del poliedro con un vértice común.
6Diagonales: Segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Poliedro convexo

En un poliedro convexo una recta sólo pueda cortar a su superficie en dos puntos.

Poliedro cóncavo

En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algun angulo diedro entrante.

Clases de poliedros según el número de caras

Tetraedro

Poliedro de 4 caras.

Pentaedro

Poliedro de 5 caras.

Hexaedro

Poliedro de 6 caras.

Heptaedro

Poliedro de 7 caras.

Octaedro

Poliedro de 8 caras.

Eneaedro

Poliedro de 9 caras.

Decaedro

Poliedro de 10 caras.

Endecaedro

Poliedro de 11 caras.

Dodecaedro

Poliedro de 12 caras.

Tridecaedro

Poliedro de 13 caras.

Tetradecaedro

Poliedro de 14 caras.

Pentadecaedro

Poliedro de 15 caras.

Icosaedro

Poliedro de 20 caras.

Clasificación de poliedros según su regularidad

1 Poliedros regulares

Un poliedro regular tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.
Sólo existen cinco poliedros regulares:

Tetraedro

Hexaedro o cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

piramides

 piramides 

Una pirámide es un poliedro, que es un conjunto formado por un polígono (llamado base) y triángulos que tienen su base en cada lado poligonal; todos los triángulos tienen un vértice común llamado vértice de la pirámide. Los triángulos se llaman caras laterales.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base.

 

Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular, pirámide hexagonal).

 

 

 

Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

 

 

1.1- Área lateral

 

El área lateral es igual al perímetro del polígono de  la base multiplicado por  la altura de una cara lateral ( A_P o apotema)  de la pirámide y dividido entre 2.

 

 

 

P_b =perímetro de la base (suma de los lados)

A_P = apotema de la pirámide o altura lateral

 

 

1.2- Área total

 

El área total es igual al área lateral más el área del polígonos de la base.

 

 

1.3- Volumen 

 

El volumen es igual al área del polígono de  la base multiplicado por la altura ( h ) de la pirámide y dividido entre 3.

 

 

Donde:

 

A_b =área basal de la pirámide

h  = altura de la pirámide.

 

 

Veamos algunos ejemplos:

 

1- El área total de una pirámide cuya base es un rectángulo de lados 5cm y 11 cm, y su apotema 8 cm, es igual a:

 

A- 183 cm²                     B- 203 cm²                        C- 220 cm²                       D- 440 cm²

 

 

P_b = perímetro de la base

 

P_b =  suma de los lados

P_b = 11+ 5 + 11 + 5

P_b =  32

 

Luego debemos calcular el área lateral:

 

A_L = Pb  • h  / 2

A_L = 32 • 8 / 2

A_L = 128

 

Ahora debemos calcular el área de la base:

 

A_b =  base • altura 

A_b = 11 • 5

A_b = 55

 

Ahora que tenemos el área lateral, podemos calcular el área total

 

AT  = A_L + A_b

AT = 128 + 55

AT = 183 cm²

 

Por lo tanto la respuesta a la pregunta es la alternativa :

A- 183 cm²

 

 

 

2- Altura y apotema de las pirámides regulares

 

La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Recuerda que una pirámide es regular cuando la base es un polígono regular y el vértice se proyecta sobre el centro de ese polígono. 

 

En una pirámide regular todas las aristas laterales son iguales y las caras laterales son triángulos isósceles iguales. Las alturas de los triángulos se llaman apotemas de la pirámide.

 

La apotema de una pirámide regular es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura de la pirámide y la apotema del polígono de la base.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

prisma

 prisma :


 Cuerpo geométrico formado por dos caras planas poligonales, paralelas e iguales, que se llaman bases, y tantas caras rectangulares como lados tiene cada base.

  mire el vide para saber mas

poliedros regulares

poliedros regulares :

 En cada vértice concurren el mismo número de caras. Solo existen cinco poliedros regulares: El tetraedro formado por 4 caras que son triángulos equiláteros iguales. El hexaedro o cubo formado por 6 caras que son cuadrados iguales.
 

operaciones conbinadas con numeros racionales

 operaciones conbinadas  con numeros racionales


 

   operaciones conbinadas  con numeros racionales

 

 

 

Operaciones combinadas con fracciones

Prioridad en las operaciones combinadas

1 Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2 Calcular las potencias y raíces.
3 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
4 Efectuar los productos y cocientes.

5 Realizar las sumas y restas.

Ejemplos

1 Primero operamos con los productos y números mixtos dentro de los paréntesis.
2 Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
3 Realizamos el producto y lo simplificamos.
4 Realizamos las operaciones del paréntesis.
5 Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

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radicacion de numeros racionales

 radicacion de numeros racionales

     La radicación es una operación contraria a la potenciación, consiste en buscar un número que multiplicado tantas veces como indica el índice de la raíz nos de la cantidad sub radical o radicando.

     En nuestro ejemplo se lee: “la raíz cúbica de menos ocho veintisieteavos es igual a menos dos tercios”.

PARTES O ELEMENTOS DE LA RADICACIÓN:

En nuestro ejemplo:

Índice de la raíz: 3

Radicando o cantidad sub radical: 

                                                     

Raíz: 

      

PROPIEDADES:

 " a, b, c y d Î Q, se cumplen los siguientes axiomas o propiedades:

 1) Si la cantidad subradical o radicando es positivo, se puede extraer raíz de índice par e impar.

    Ejemplo:

                

  

    Ejemplo:

               

2) Si la cantidad subradical o radicando es negativo, sólo se puede extraer raíz de índice impar.

    Ejemplo (1):

              

Ejemplo:

          

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

9) 

10) 

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Resuelve:

Vídeo de radicación de números racionales: https://youtu.be/hz0fay3uJwE

 

potencia de numeros racionales

 potencia de numeros racionales

 Potenciación de números racionales. Se cumplen también todas las propiedades de la potenciación con números enteros. Cuando se tiene una potencia cuyo exponente es un número natural, se opera de la misma manera que en el conjunto de los números enteros.
 

sustraccion de numeros racionales

 sustraccion de numeros racionales

Para sumar fracciones con distinto denominador, se igualan los denominadores de las fracciones, buscando el mínimo común múltiplo entre los denominadores y amplificando cada fracción por el número que corresponda. Luego, se realiza la adición o sustracción de la misma forma que en el caso anterior (igual denominador).

ecuaciones con numeros racionales

 ecuaciones  con numeros racionales 

Un método para resolver ecuaciones racionales es reescribir las expresiones racionales en términos de un denominador común. Entonces, como sabemos que los numeradores son iguales, podemos resolver la variable. Para ilustrar esto, veamos una ecuación muy simple:

x = 3

Como el denominador de cada expresión es el mismo, los numeradores deben ser equivalentes también. Esto significa que x = 3.

Esto es también válido para ecuaciones racionales con polinomios:

2x – 5 = 11

x = 8

Una vez más, como los denominadores son los mismos, sabemos que los numeradores deben ser también iguales. Por lo que podemos igualarlos el uno con el otro y resolver x.

Debemos comprobar nuestra solución en la expresión racional original:

La solución funciona, y como x = 8 no resulta en una división entre 0, la solución es válida.

Cuando los términos en una ecuación racional tienen denominadores distintos, resolver la ecuación necesitará trabajo extra. Aquí hay un ejemplo:

Ejemplo
Problema		Resolver la ecuación
				No hay valores excluidos porque ambos denominadores son constantes
				Encontrar el común denominador y reescribir cada expresión con ese denominador El común denominador es 8
		x + 2 = 6 x = 4		Como los denominadores son el mismo, los numeradores deben ser iguales para que la ecuación sea válida, Resolver x.
				Comprobar la solución sustituyendo x por 4 en la ecuación original
Solución		x = 4

Otra forma de resolver ecuaciones racionales consiste en multiplicar ambos lados de la ecuación por un común denominador. Esto elimina los denominadores y convierte la ecuación racional en una ecuación de polinomios. Aquí está el mismo ejemplo que acabamos de resolver:

Ejemplo
Problema		Resolver la ecuación
				No hay valores excluidos porque ambos denominadores son constantes
				Multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador
		x + 2 = 6		Simplificar
		x + 2 – 2  = 6 – 2 x = 4		Resolver x
Solución		x = 4

Ahora que entendemos las técnicas, veamos un ejemplo que tiene variables en el denominador. Recuerda que cuando hay variables en el denominador, necesitamos encontrar los valores que están excluidos del dominio porque harían el denominador cero.

Para resolver la ecuación, podemos multiplicar ambos lados por el mínimo común denominador:

Ejemplo
Problema	Resolver
	x + 2 = 0 x = -2 x – 2 = 0 x = 2 (x + 2)(x – 2) = 0 x = -2, 2		Primero determinar los valores excluidos. Estos son los valores de x que harían 0 el denominador
	denominadores: x + 2 x – 2 x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) mínimo común denominador: (x – 2)(x + 2)		Encontrar el común denominador de x – 2, x + 2, y x2 – 4 Como (x – 2) y (x + 2) son factores de x2 – 4, el mínimo común denominador es (x – 2)(x + 2) o x2 – 4
			Multiplicar ambos lados de la ecuación por el común denominador
	7x – 14 + 5x + 10 =10x – 2 12x – 4 =10x – 2		Simplificar
	12x – 10x – 4 = 10x – 10x – 2 2x – 4 = -2 2x – 4 + 4 = -2 + 4 2x = 2 x = 1		Resolver x Asegurarse que la solución no es un valor excluido. (No lo es)
			Comprobar la solución en la ecuación original
Solución	x = 1

Resolver la ecuación , m  0 o 2 A)  m = 2 B) no existe solución C) m = 8 Mostrar/Ocultar la Respuesta

Hemos visto que hay más de una forma de resolver ecuaciones racionales. Porque ambas técnicas manipulan y reescriben los términos, algunas veces pueden producir soluciones que no funcionan en la forma original de la ecuación. Este tipo de respuestas se llaman soluciones extrañas. Estas soluciones son artefactos del proceso de solución y no son respuestas reales. Es por eso que siempre debemos comprobar las soluciones con las ecuaciones originales — podríamos encontrar que se obtienen declaraciones inválidas o producen expresiones indefinidas.

Resolver la ecuación: A) x = -1 B) x = -1, 6 C) x = -4, 3 D) no existe solución Mostrar/Ocultar la Respuesta

Sumario

Resolvemos ecuaciones racionales encontrando un común denominador. Podemos entonces seguir cualquiera de dos métodos. Podemos reescribir la ecuación de tal manera que todos los términos tengan el común denominador y podemos resolver la variable con sólo los numeradores. O podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador común para que todos los términos se vuelvan polinomios en lugar de expresiones racionales.

Un paso importante cuando resolvemos ecuaciones racionales es rechazar cualquier solución extraña de la respuesta final. Las soluciones extrañas son soluciones que no satisfacen la forma original de la ecuación porque producen declaraciones inválidas o son valores excluidos que hacen que el denominador sea igual a 0.